ΔΙΠ50 – ΕΑΠ Οδηγίες για την 1η εργασία μέρος 1

ΔΙΠ50 -1η εργασία

Στην προσπάθειά μας να σας βοηθήσουμε με την πρώτη εργασία της ΔΙΠ50. Παρουσιάζουμε εδώ κάποιες παλαιότερες ασκήσεις από προηγούμενες χρονιές της ενότητας ΔΙΠ50 του ΕΑΠ.

Άσκηση

Ο χρόνος (σε ώρες) που απαιτείται για την φόρτιση μιας συγκεκριμένης μπαταρίας όταν είναι πλήρως αφόρτιστη προσεγγίζεται ικανοποιητικά από μια συνεχή τυχαία μεταβλητή T με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο:

    \[ f(t)=\left\{\begin{array}{c} c(3t^2-2t), 2\leq t\leq3\\ 0, \alpha\lambda\lambda o \upsilon\end{array}\right. \]

  1. Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς c.
  2. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της T.
  3. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι τουλάχιστον 2.5 ώρες ο χρόνος φόρτισης μιας μπαταρίας;

Λύση

  1. Μια από τις βασικές ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ότι:
  • \sum_{x_i}f(x_i)=1,  αν η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή,
  • \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1, αν η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής.

Στην περίπτωση μας έχουμε συνεχή τυχαία μεταβλητή άρα έχουμε:

    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1\]

Επειδή, η συνάρτηση μας είναι μηδενική εκτός του διαστήματος [2,3], τα άκρα του ολοκληρώματος είναι από το 2 μέχρι το 3. Δηλαδή:

    \[\int_2^3f(t)dt=1\]

Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα έχουμε:

    \[\left[c(t^3-t^2)\right]_2^3=1\]

    \[c(3^3-3^2)-c(2^3-2^2)=1\]

    \[14c=1\]

    \[c=\frac{1}{14}\]

  1.  Έχουμε τον βασικό τύπο:

    \[F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\]

Το μεγαλύτερο πρόβλημα εδώ οφείλεται στο γεγονός ότι αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης f(t). Ειδικότερα έχουμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις:

  1. t<2, τότε f(t)=0,
  2. 2\leq t \leq 3, τότε f(t)=c(3t^2-2t),
  3. 3<t, τότε f(t)=0.

Για το λόγο αυτό για τον υπολογισμό του F(x) διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • x<2, τότε F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^x0dt=0,
  • 2\leq t \leq 3, τότε

    \[F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_2^xc(3t^2-2t)dt=\]

    \[\left[c(t^3-t^2)\right]_2^x=c(x^3-x^2)-4c=c(x^3-x^2-4)=\frac{1}{14}(x^3-x^2-4),,\]

  • 3<t, τότε F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_2^2f(t)dt=1.

Να σημειώσουμε εδώ ότι στην τρίτη περίπτωση δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αφού η θεωρία μας λέει ότι \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1. Ή εδώ αφού η συνάρτηση είναι μη μηδενική μόνο στο διάστημα [2,3] έχουμε ότι \int_2^xf(t)dt=1 για οποιοδήποτε x μεγαλύτερο ή ίσο του 3.

  1.  Θέλουμε την πιθανότητα P(T<2.5). Εξ” ορισμού έχουμε ότι:

    \[P(T<2.5)=F(2.5)=\frac{1}{14}(2.5^3-2.5^2-4)\simeq 0.3839\]

 

Περισσότερες λυμένες ασκήσεις για τη ΔΙΠ50 του ΕΑΠ προσεχώς!

Για να δείτε όλα τα άρθρα σχετικά με την ΔΙΠ50 στο blog μας κάντε μια αναζήτηση εδώ.

Στο μεταξύ μπορείτε να δείτε μια συλλογή λυμένων ασκήσεων ΔΙΠ50 στη βιβλιοθήκη μας.

Τέλος, υπάρχει και μια σελίδα με όλο το υλικό για τη ΔΙΠ50 του ΕΑΠ.

Αν έχετε απορίες στην πρώτη εργασία ΔΙΠ50 πολύ ευχαρίστως να σας βοηθήσουμε. Στείλτε μας μήνυμα ή τηλεφωνήστε στο 6976486417.

 

Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+Share on LinkedIn

ΔΙΠ50 για ΕΑΠ – Οδηγίες για φοιτητές- Καλή αρχή!

Το πρώτο post για την ΔΙΠ50

ιστόγραμμα για τη ΔΙΠ50 Καλώς ορίσατε στο πρώτο από μια σειρά άρθρων για την ενότητα ΔΙΠ50 του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου. Γνωρίζουμε ότι η ενότητα ΔΙΠ50 είναι αρκετά απαιτητική και στόχος μας είναι να σας βοηθήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο να αντεπεξέλθετε  στις δυσκολίες.

Η πρώτη εργασία σχετίζεται με τις παρακάτω έννοιες/ενότητες:

  • συνδυαστική,
  • απλές ασκήσεις πιθανοτήτων βασισμένες στον ορισμό της πιθανότητας,
  • δεσμευμένες πιθανότητες, θεώρημα ολικής πιθανότητας, θεώρημα του Bayes,
  • τυχαίες μεταβλητές, συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας,
  • από κοινού συνάρτηση πιθανότητας δύο μεταβλητών, περιθώριες συναρτήσεις.

Η πρώτη επαφή με τη ΔΙΠ50 μπορεί να σοκάρει. Αλλά αν κατανοήσετε κάποιες βασικές αρχές τα πράγματα θα γίνουν πιο εύκολα. Πρώτα από όλα για τις ασκήσεις συνδυαστικής επικεντρώστε στους βασικούς τύπους και στα παραδείγματα που αποσαφηνίζουν που χρησιμοποιείται ο καθένας. Για παράδειγμα:

  • ο τύπος n! μας λέει με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε n αντικείμενα σε σειρά,
  • ο (n-k)! με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε από n αντικείμενα τα k και να τα βάλουμε σε σειρά. Προσοχή μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία τα επιλέγουμε!
  • Αντίθετα, αν από n αντικείμενα θέλουμε να επιλέξουμε τα κ και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά τότε έχουμε \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right) τρόπους. Κλασικό παράδειγμα οι εξάδες του ΛΟΤΟ είναι \left(\begin{array}{c} 49 \\ 6\end{array}\right)
  • Αν έχουμε να επιλέξουμε k  αντικείμενα από n και μπορούμε να πάρουμε κάποιο ή κάποια από αυτά περισσότερες από μια φορές, δηλ. μπορούμε να έχουμε επαναλήψεις, τότε έχουμε n^k επιλογές. Κλασικό παράδειγμα οι στήλες του ΠΡΟΠΟ είναι 3^{13}.
  • κλπ

Στις ασκήσεις που πάνε με το βασικό ορισμό πιθανότητας το μεγαλύτερο πρόβλημα είναι να κατανοήσετε το πρόβλημα και να μετρήσετε τις ευνοϊκές και τις δυνατές περιπτώσεις. Για το τελευταίο χρειάζεστε τη συνδυαστική που λέγαμε πριν. Για τη δεσμευμένη πιθανότητα και τα θεωρήματα ολικής πιθανότητας και Bayes μερικά λυμένα παραδείγματα θα σας λύσουν τα χέρια.

Το ίδιο συμβαίνει και με τις τυχαίες μεταβλητές, τη συνάρτηση πυκνότητας καθώς και τις περιπτώσεις δύο μεταβλητών. Υπάρχουν συγκεκριμένοι τύποι ασκήσεων που βασίζονται στις ιδιότητες όλων αυτών. Αν μελετήσετε προσεκτικά κάποιες λυμένες ασκήσεις και παραδείγματα θα πετάτε!

Θα συμβουλεύαμε να διαβάσετε καλά τα παραδείγματα καθώς και τις λύσεις της πρώτης εργασίας ΔΙΠ50 των προηγουμένων ετών. Αν θέλετε μπορείτε να συμβουλευτείτε και τη βιβλιοθήκη μας. Ειδικότερα στην ενότητα «ΕΑΠ – Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο» θα βρείτε ένα αρχείο με λύσεις από προηγούμενες εργασίες ΔΙΠ50.

Κατά καιρούς θα δημοσιεύουμε και άλλες οδηγίες για τους φοιτητές της ενότητας ΔΙΠ50. Για να δείτε όλα τα άρθρα σχετικά με την ΔΙΠ50 στο blog μας κάντε μια αναζήτηση εδώ.

Τέλος, υπάρχει και μια σελίδα με όλο το υλικό για τη ΔΙΠ50 του ΕΑΠ.

Για κάθε σχόλιο ή παρατήρηση είμαστε στη διάθεσή σας!

Μπορείτε να δείτε και τις προσφορές μας για τη ΔΙΠ50 του ΕΑΠ. Ή να μας καλέσετε για να σας κάνουμε μια πρόταση που θα καλύπτει τις προσωπικές σας ανάγκες στη ΔΙΠ50.

 

 

 

Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+Share on LinkedIn

Οδηγίες προς νέους φοιτητές

Οδηγίες για νέους φοιτητές
Οδηγίες για νέους φοιτητές

Συγχαρητήρια επιτύχατε στις πανελλήνιες και περάσατε στη σχολή που ονειρευόσαστε! Να μας επιτρέψετε να σας δώσουμε μερικές μικρές συμβουλές ώστε να έχετε όσο πιο όμορφη φοιτητική ζωή.

  • Προσπαθήστε να κρατήσετε μια επαφή με τα μαθήματά σας.  Για να το επιτύχετε αυτό δύο τρόποι υπάρχουν. Η παρακολούθηση των μαθημάτων η μελέτη στο σπίτι. Όσο μεγαλύτερη σχέση κρατήσετε με το μάθημα τόσο λιγότερο διάβασμα θα έχετε κατά την περίοδο των εξετάσεων!
  • Περάστε τα βασικά μαθήματα που δεν είναι της ειδικότητάς σας νωρίς. Για παράδειγμα, αν είστε φοιτητές μια πολυτεχνικής σχολής τότε καλό είναι να περάσετε τα μαθήματα Μαθηματικών στο πρώτο έτος (όπως προτείνεται συνήθως και στον οδηγό σπουδών). Έτσι θα εκμεταλευτείτε στο έπακρο τις γνώσεις σας από το λύκειο, πρωτού αρχίσετε να ξεχνάτε.

Περισσότερα και πιο αναλυτικά μπορείτε να διαβάσετε και στο ειδικό κείμενο «Οδηγίες προς καινούργιους φοιτητές» που υπάρχει στη βιβλιοθήκη μας.

 

ΚΑΛΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ!

Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+Share on LinkedIn